Scheda Insegnamento: ANALISI MATEMATICA I A.A. 2017/2018
  • Corso di Laurea: INGEGNERIA INDUSTRIALE (L-9)
  • Codice: 15663
  • Crediti: 9
  • Anno Off. Formativa: 2017/2018
  • Anno di Corso: 1
  • Erogazione: I semestre
  • Docente: CARLO CATTANI

Programma

INSIEMI NUMERICI
Insiemi e logica: operazioni tra insiemi, operazioni logiche, proprietà delle operazioni, leggi di De Morgan, predicati e proposizioni, sillogismi e tautologie. Numeri naturali, interi relativi, fattoriale di n, coefficienti binomiali e loro proprietà, formula di Newton, calcolo combinatorio. Principio di induzione. Numeri razionali, numeri reali e loro proprietà. Massimi e minimi, estremo superiore e inferiore.

FUNZIONI ELEMENTARI
Radicali, potenze,logaritmi, proprietà regole, funzioni potenza e proprietà, funzioni esponenziali e proprietà, funzioni logaritmiche e proprietà, funzioni trigonometriche e proprietà, funzioni iperboliche e proprietà, equazioni e disequazioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Funzioni composte e inverse, funzioni trigonometriche inverse, funzioni iperboliche inverse

ALGEBRA LINEARE
Spazi vettoriali su R^n. Vettori canonici, dipendenza a indipendenza lineare. Basi e dimensione. Prodotto scalere e prodotto vettoriale. Matrici: matrice trasposta, simmetrica, somma e differenza di matrici, prodotto per uno scalare, prodotto righe per colonne e sue proprietà. Determinante: calcolo attraverso la formula di Laplace e sue proprietà. Caratteristica di una matrice. Calcolo della matrice inversa. Sistemi lineari: risoluzione di sistemi n*n con la regola di Cramer. Sistemi omogenei. Rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari. Immagine e nucleo di una trasformazione. Sistemi generali rettangolari. Teorema di Rouché-Capelli. Autovalori e autovettori (cenni).

GEOMETRIA
Equazioni parametriche e cartesiane e vettoriali di rette e piani. Versore normale. Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Trasformazione del sistema di coordinate per traslazione e rotazione. Trasformazione da coordinate cartesiane a polari. Coniche, classificazione delle coniche. Coniche degeneri.

NUMERI COMPLESSI
Rappresentazione di un numero complesso in forma algebrica, geometrica e trigonometrica; opposto, reciproco, coniugato, e modulo di un numero complesso; proprietà; operazioni tra numeri complessi; formula di De Moivre; rappresentazione esponenziale e formule di Eulero; radici n-esime e loro interpretazione grafica; equazioni algebriche in C.

SUCCESSIONI
Convergenza e divergenza, teoremi di confronto, operazioni con i limiti, forme indeterminate, monotonia, numero di Nepero e limiti notevoli.

SERIE
Successione delle somme parziali, serie a termini positivi, serie armonica e geometrica, condizione necessaria di convergenza, criterio del confronto, del rapporto, della radice, del confronto asintotico. Serie telescopiche. Serie a segno alterno, assoluta convergenza, criterio di Leibniz.

LIMITI E CONTINUITA' PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE
Concetto di funzione, dominio, argomento, codominio, operazioni tra funzioni, composizione, parità e disparità. Funzioni composte. Limiti e proprietà. Limiti notevoli. Stime asintotiche. Continuità e teoremi sulle funzioni continue Monotonia, massimi e minimi. Asintoti. Grafici di funzioni elementari.

DERIVATE
Rapporto incrementale, Interpretazione geometrica della derivata. Derivata delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa. Limite della derivata e derivabilità. Teorema di Rolle, Cauchy. Teorema di Lagrange o del valore medio.
Applicazioni delle derivate: punti critici e di flesso, monotonia, concavità e convessità. Il teorema di de l'Hopital. Studio del grafico di una funzione.
Il concetto di differenziale. Differenziale e approssimazione lineare. Il simbolo "o piccolo". Applicazioni al calcolo dei limiti. Formula di Taylor-MacLaurin con resto di Peano e con resto di Lagrange. Sviluppo in serie di Taylor-MacLaurin delle funzioni. Soluzione approssimata di un'equazione con il metodo di Newton. Soluzione approssimata di un'equazione con il metodo delle secanti (cenni).

INTEGRALI
Integrale come limite di somme. Definizione di integrale. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell'integrale. Teorema della media integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale, primitive e calcolo degli integrali indefiniti e definiti. Integrali immediati per scomposizione, per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali. Integrazione per parti. Integrazione delle funzioni trigonometriche. Integrazione delle funzioni irrazionali. Integrali generalizzati (cenni). Equazioni differenziali a variabili separabili. Condizioni iniziali.

MODELLI DISCRETI

Equazioni lineari del prim'ordine a coefficienti costanti. Equazioni autonome non lineari. Orbite, diagrammi a gradino e punti fissi di equilibrio. Punti fissi e stabilità. Equazioni lineari a coefficienti costanti del secondo ordine. Equazioni omogenee. I numeri di Fibonacci. Equazioni non omogenee. Metodo della verosimiglianza.

Testi consigliati

- Analisi Matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare, Bramanti-Pagani-Salsa, Zanichelli (ed. 2014)
- Esercizi di Analisi Matematica, Salsa, Squellati, Zanichelli (ed. 2014)

Propedeuticità

Nessuna

Frequenza

Facoltativa

Metodologia didattica

Ore lezione: 72

Valutazione del profitto

Prova scritta, prova orale

Descrizione dei metodi di accertamento

L’esame consiste in una prova scritta e una orale, di cui il
superamento dello scritto rappresenta il requisito per accedere
all’orale. La prova scritta consisterà in: esercizi e problemi di
analisi matematica. Possono accedere
all’esame orale gli studenti che abbiano dimostrato di avere una sufficiente preparazione per poter impostare e risolvere gli esercizi proposti nella prova scritta.
Nella valutazione della prova orale e
nell’attribuzione del voto finale si terrà conto del livello delle conoscenze acquisite sui temi
trattati nel corso, delle capacità del candidato di applicare
criticamente tali conoscenze a problemi e casi di studio
affrontati, nonché l'efficacia e chiarezza nell'esposizione

Luogo lezioni

Via S. Camillo De Lellis Blocco V Piano T Aula Magna/aula 4

Orario lezioni

Mercoledì ore 9.00-11.00 Aula Magna
Giovedì (aula 4) 9.00-11.00
Venerdì, ore 9.00-11.00 Aula Magna

Comunicazioni

Martedi dalle 11 alle 13